Algebra 1: Unter Benutzung von Vorlesungen von Emil Artin by Dr. B. L. van der Waerden (auth.)

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ErkHiren. 1st »l kommutativ, so kann man folgendermaBen vorgehen: man verlangt auBer dem Assoziativgesetz der Multiplikation und den beiden Distributivgesetzen noch die folgende Eigenschaft (4) (at u) V = U (ex v) = ex (u v) fur at E ffi. Sind diese Eigenschaften aIle erfiillt, so heiBt der Ring ® ein hyperkomplexes System oder eine Algebra yom Range n uber dem Ring ffi. Meistens wird dabei ffi als ein Korper angenommen, jedoch ist das nicht unbedingt notig. Wie man hyperkomplexe Systeme effektiv angeben kann, werden wir bald sehen.

A"b", Die Distributivgesetze gelten auch fUr die Subtraktion; z. B. ist wie man aus a(b-c) = a b-a c, a(b-c) +ac =a(b-c +c) =ab ersieht. Insbesondere ist a·O =a (a-a) =a 'a-a'a =0, oder: Ein Produkt ist sicher aann Null, wenn ein Faktor es ist. Die Umkehrung dieses Satzes braucht, wie wir spater an Beispielen sehen werden, nicht zu gelten: Es kann vorkommen, daB a·b =0, a 9= 0, In diesem Fall nennt man a und b Nullteiler, und zwar a einen linken, b einen rechten Nullteiler. ) Es ist zweckmaBig, auch die Null selbst als Nullteiler zu betrachten.

7. l Normalteiler in @. § J2. Isomorphismen und Automorphismen. JR gegeben. In jeder dieser Mengen seien irgendwelche Relationen zwischen den Elementen definiert. Man kann sich z. B. JR, m Gruppen sind und daB die Relationen die Gleichungen a . b = c sind, die vermoge der Gruppeneigenschaft bestehen. Oder man kann sich etwa denken, daB die Mengen geordnet sind und daB die Relationen a > b gemeint sind. Wenn es nun moglich ist, die beiden Mengen eineindeutig aufeinander abzubilden derart, daB die Relationen bei der Abbildung erhalten v.

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