Banach-Alaoglu, boundedness, weak-to-strong principles by Garrett P.

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Einer der drei Vektoren (4, 1, 3)T, (1,3, 4)T und (6, 7, ll)T HiBt sich also als LK der beiden anderen darstellen. Vektoren mit dieser Eigenschaft nennen wir linear abhiingig voneinander. Fur die Vektoren (4, I, 3)T, (1,3, 4)T und (5,4, I)T laBt sich zeigen, daB keine solche Beziehung besteht. Keiner dieser drei Vektoren laBt sich als LK der beiden restlichen darstellen. Deshalb sagen wir, daB diese Vektoren linear unabhiingig voneinander sind. •• , Xk E Rn linear abhiingig voneinander sind, wenn sich mindestens einer von ihnen als LK der ubrigen (k - I) Vektoren darstellen laBt.

X2 darstellen. AuBerdem liiBt sich weder die Menge {Xl, x 2} noch {yl, x 2} reduzieren, ohne daB sich der erzeugte Teilraum iindert. , x 2 } eine Basis von (Xl, x 2 ). ») Eine Basis eines Vektorraumes ist also eine Menge voneinander linear unabhiingiger Vektoren (dieses Vektorraumes), die dies en Vektorraum erzeugen (vgl. 1). 3 ist demnach {xl, x 2, x 3 } eine Basis des R3. 1 a) Die Einheitsvektoren e l = (1, O)T und e2 = (0, I)T des R2 sind linear unabhiingig. 1st {e l , e2} eine Basis des R2?

B) Der Vektor In = (1, ... , I)T ERn, dessen Komponenten aIle den Wert Eins haben, heiEt der Einsvektor des Rn. c) Ein Vektor des Rn, bei dem genau eine Komponente den Wert Eins hat und aIle anderen Komponenten den Wert Null haben, heiEt ein Einheitsvektor des Rn. Der i-te Einheitsvektor des Rn (i E {I, ... , n}) ist der Einheitsvektor, dessen He Komponente den Wert Eins hat. Wir bezeichnen ihn mit e i = (0, ... , 1, ... , O)T. 5 Der NuIlvektor 0 E Rn ist bei der Addition neutral. Es gilt also x +0 = 0 + x = x fUr aIle x E Rn (vgl.

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